剑指 Offer II 003. 前 n 个数字二进制中 1 的个数

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给定一个非负整数 n ，请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。

示例 1:

输入: n = 2
输出: [0,1,1]
解释: 
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2:

输入: n = 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

说明 :

• 0 <= n <= 105

进阶:

• 给出时间复杂度为 O(n*sizeof(integer)) 的解答非常容易。但你可以在线性时间 O(n) 内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为 O(n) 。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount ）来执行此操作。

题解：

public class Solution {

    public int[] countBits(int n) {
        int[] result=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;++i){
            result[i]=result[i&(i-1)]+1;
        }
        return result;
    }
}

1.这里利用了规则，整数i的二进制形式中1的个数比“i&(i-1)”的二进制形式的1的个数多1.这里我有一个疑问为什么用的数组的形式，虽然规律是正确的。

public class Solution1 {
    public int[] countBits(int n) {
        int[] result=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;++i){
            result[i]=result[i>>1]+(i&1);
        }
        return result;
    }
}

2.利用位运算，通过规律观察可以发现，如果正整数i是一个偶数，那么i相当于将i/2左移一位的结果，因此偶数i和i/2的二进制中的1个数是一样的。如果i是奇数，则i比i/2的二进制的1的个数多一个。